Luas Segi-n Beraturan, Jari-jari Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga, Garis Singgung Persekutuan Luar/Dalam Lingkaran

Nama : Hanna Kamila M. (17)
Kelas : X IPS 3
Tanggal : 22 Maret 2021


Luas Segi-n Beraturan, Jari-jari Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga, Garis Singgung Persekutuan Luar/Dalam Lingkaran


Luas Segi n Beraturan

Pada segi n beraturan

Setiap segi n beraturan bisa kita bagi menjadi n buah segitiga yang kongruen

Setiap titik sudut pada segi n beraturan bisa dilalui sebuah lingkaran, lingkaran ini disebut lingkaran luar segi n. Semuat titik sudut akan dilewati lingkaran (tidak ada yang tertinggal).

Menghitung luas segi n beraturan akan lebih mudah jika diketahui jari-jari lingkaran luarnya



Setiap segi n bisa dibagi menjadi n buah segitiga yang kongruen seperti pada gambar di atas.

Selanjutnya kita ambil salah satu segitiganya

juring-segi-n

Besar sudut A adalah 

Luas segitiga adalah

LΔ = ½ .R.R sin A

Luas segi n beraturan adalah

Ln = n. LΔ

Rumus ini merupakan rumus luas segi n beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran luarnya.

 

Bagaimana jika diketahui sisinya ?

Pertama kita cari dulu hubungan antara jari-jari lingkaran luar (R) dengan sisinya (a)

juring-segi-n

Dengan aturan cosinus maka

a2 = R2 + R2 — 2R.R cos A

a2 = 2R2 — 2R2 cos A

a2 = R2(2 — 2cos A)

Luas segi n :



Jadi luas segi n beraturan yang panjang sisinya a adalah


Lingkaran Dalam Segitiga

Kasus pada lingkaran dalam segitiga untuk tingkat sekolah menengah pertama, biasanya diperkenalkan rumus untuk mencari jari-jari lingkaran. Materi lingkaran dalam segitiga melibatkan dua bangun yaitu lingkaran dan segitiga. Materi pertama mengenai bangun lingkaran yang berada dalam segitiga. Perhatikan gambar berikut!

Rumus mencari jari-jari lingkaran dalam segitiga.

Rumus Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga

  \[ r = \frac{L_{\Delta ABC}}{s} \]

dengan s = \frac{1}{2} \left(a + b + c \right)

Selanjutnya adalah pembahasan lingkaran luar segitiga.

Lingkaran Luar Segitiga

Pembahasan di sini masih sama dengan pembahasan sebelumunya, yaitu melibatkan lingkaran dan segitiga. Hanya saja, lingkaran yang diberikan pada pembahasan ini berada di luar segitiga. Seperti judulnya “lingkaran luar segitiga” artinya ada lingkaran diluar segitiga. Ketiga titik sudut pada segitiga tersebut terletak pada lingkaran. Secara lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah!

Persamaan di bawah merupakan rumus mencari jari-jari lingkaran luar segitiga.

Rumus Jari-Jari Lingkaran Luar Segitiga

  \[ r = \frac{AB \times AC \times BC}{4 \times L_{\Delta ABC}}\]

atau

  \[ r = \frac{abc}{4 \times L_{\Delta ABC}}\]

Contoh 1
Perhatikan gambar di bawah!
 
soal lingkaran dalam segitiga
 
Jika panjang AC dan BC berturut-turut 8 cm dan 15 cm maka panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah ….
A.     5 cm
B.     3,5 cm
C.     3 cm
D.     2,5 cm

Pembahasan:

Gambar pada soal merupakan lingkaran dalam segitiga. Untuk mengetahui besar jari-jari dari lingkaran tersebut digunakan rumus berikut.

  \[ r = \frac{L_{\Delta ABC}}{s} \]

Dengan s = \frac{1}{2}K_{\Delta ABC}

Sebelumnya, kita perlu mencari sisi miring AB, keliling segitiga ABC, nilai s, dan luas segitiga ABC terlebih dahulu.

  \[AB^{2} = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} \]

  \[AB^{2} = \sqrt{8^{2} + 15^{2}} \]

  \[AB^{2} = \sqrt{64 + 225} \]

  \[AB^{2} = \sqrt{289} = 17 \; cm\]

 

  \[K_{\Delta ABC} = AB + AC + BC\]

  \[K_{\Delta ABC} = 17 + 8 + 15 \]

  \[K_{\Delta ABC} = 40 \; cm \]

 

  \[s = \frac{1}{2} \times K_{\Delta ABC} \]

  \[s = \frac{1}{2} \times 40 = 20 \; cm \]

 

  \[L_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC \]

  \[L_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 \]

  \[L_{\Delta ABC} = 60 \; cm^{2}\]

Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga pada soal di atas adalah

  \[r = \frac{L_{\Delta ABC}}{s} \]

  \[r = \frac{60}{20} = 3 \; cm\]

 
Jawaban: C

Rumus Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Perhatikan gambar di bawah ini! Lingkaran A berpusat di A dengan jari-jari AC = r1. Lingkaran B berpusat di B dengan jari-jari BE = r2.



AB adalah jarak kedua titik pusat lingkaran (s). CE adalah garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran, dimana CE⊥AC. Melalui titik B, kita dapat menarik garis BD yang sejajar dengan garis CE. (BD//CE), sehingga CD = BE = r2, dan ∠ADB = 90o.

Maka ΔADB adalah segitiga siku-siku, sehingga berlaku teorema Phythagoras, yaitu:
AB2 = AD2 + BD2
BD2 = AB2 – AD2
        = AB2 – (AC + CD)2
        = s2 – (r1 + r2)2


Karena BD//CE dan ∠ADB = ∠ACE = 90o, maka CE = BD. Jadi, CE2 = s2 – (r1 + r2)2. Sehingga, dapat kita simpulkan bahwa panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah:

d2 = s2 – (r1 + r2)2

dengan r1 > r2, dan
d : panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
s : jarak antara kedua pusat dua lingkaran
r1 : jari-jari lingkaran pertama
r2 : jari-jari lingkaran kedua


Rumus Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Perhatikan gambar di bawah ini! Lingkaran A berpusat di A dengan jari-jari AD = r1. Lingkaran B berpusat di B dengan jari-jari BE = r2.


AB adalah jarak kedua titik pusat lingkaran (s). DE adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran, dimana DE⊥AD. Melalui titik B, dapat ditarik garis BC yang sejajar garis DE (BC//DE), sehingga BE = CD = r2, dan ∠ACB = 90o.

Maka ΔACB adalah segitiga siku-siku, sehingga berlaku teorema Phythagoras,
AB2 = AC2 + BC2
BC2 = AB2 – AC2
        = AB2 – (AD – CD)2
        = s2 – (r1 – r2)2


Karena BC//DE dan ∠ACB = ∠ADE = 90o, maka DE = BC. Jadi, DE2 = s2 – (r1 – r2)2. Maka panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran dirumuskan:

l2 = s2 – (r1 – r2)2

dengan r1 > r2, dan
l : panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran
s : jarak antara kedua pusat dua lingkaran
r1: jari-jari lingkaran pertama
r2: jari-jari lingkaran kedua


Contoh Soal

Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm. Panjang jari-jari lingkaran yang besar adalah 6 cm. Jika jarak antara kedua titik pusat sama dengan 17 cm, hitunglah panjang jari-jari yang lingkaran kecil!

Penyelesaian:
d = 15 cm,
r1 = 6 cm,
s = 17 cm

d2 = s2 – (r1 + r2)2
152 = 172 – (6 + r2)2
225 = 289 – (6 + r2)2
(6 + r2)2 = 289 – 225
               = 64
6 + r2 = √64
6 + r2 = 8
r2 = 8 – 6 = 2 cm

Jadi panjang jari-jari lingkaran kecil adalah 2 cm.


Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Gambar
Nama : Hanna Kamila M. (17) Kelas : X IPS 3 Tanggal : 18 Januari 2021 Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku Trigonometri  dapat dikatakan sebagai suatu cabang ilmu matematika yang mempelajari mengenai sudut, sisi, dan perbandingan antara sudut terhadap sisi. Menurut bahasanya, trigonometri berasal dari bahasa Yunani.  Trigonon  yang berarti tiga sudut, dan  metro  yang berarti mengukur. Dalam pembahasan mengenai trigonometri, kita akan banyak menggunakan sifat-sifat bangun datar segitiga. Teorema apa yang dipakai untuk menentukan panjang sisi segitiga siku-siku yang belum diketahui? Yak betul, kita akan menggunakan teorema/dalil pythagoras. Pythagoras  adalah seorang matematikawan asal Yunani yang dikenal dengan teoremanya,  yaitu bahwa sisi miring atau sisi terpanjang dalam segitiga siku – siku sama dengan jumlah kuadrat sisi – sisi lainnya. Pada gambar segitiga ABC di atas, AC merupakan sisi miring ( hipotenusa ) sehingga berlaku teorema ...
Baca selengkapnya

Remedial Matematika Kelas X PAS

Nama : Hanna Kamila M. (17) Kelas : X IPS 3 Tanggal : 7 Desember 2020 Remedial Matematika PAS Absen 17 SOAL 17. Jika p dan q adalah akar-akar persamaan dari 2p+3q=2 dan 4p-q =18, maka 5p+2q²=..... PEMBAHASAN Jawaban : nilai dari  5p - 2q² = 5(4) - 2(-2)²               = 20 - 2(4)               = 20 - 8               = 12
Baca selengkapnya

Soal dan Pembahasan Fungsi Trigonometri

Gambar
Nama : Hanna Kamila M. (17) Kelas : X IPS 3 Tanggal : 5 April 2021  SOAL DAN PEMBAHASAN FUNGSI TRIGONOMETRI Soal Nomor 1 Diketahui grafik fungsi  y 1 = 5 sin x y 1 = 5 sin ⁡ x  dan  y 2 = sin 5 x y 2 = sin ⁡ 5 x . Pernyataan berikut yang benar adalah  ⋯ ⋅ ⋯ ⋅ A. periode  y 1 y 1  = periode  y 2 y 2 B. amplitudo  y 1 y 1  = amplitudo  y 2 y 2 C. periode  y 1 = 1 5 y 1 = 1 5  kali periode  y 2 y 2 D. amplitudo  y 1 = 1 5 y 1 = 1 5  kali amplitudo  y 2 y 2 E. amplitudo  y 1 = 5 y 1 = 5  kali amplitudo  y 2 y 2 Pembahasan Bentuk umum fungsi sinus tersebut adalah  y = a sin k x y = a sin ⁡ k x . Periode: Periode  y 1 = 5 sin x y 1 = 5 sin ⁡ x  dengan  k = 1 k = 1  adalah  P 1 = 360 ∘ 1 = 360 ∘ P 1 = 360 ∘ 1 = 360 ∘ , sedangkan periode  y 2 = sin 5 x y 2 = sin ⁡ 5 x  dengan  k = 5 k = 5  adalah  P 2 = 360 ∘ 5 = 72 ∘ P 2 = 360 ∘ 5 = 72 ∘ . D...
Baca selengkapnya