Soal Kehidupan Sehari-hari dari SPLTV ( Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel )

Nama : Hanna Kamila M. (16)

Kelas : X IPS 3

Soal Kehidupan Sehari-hari dari SPLTV ( Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel )

#1 Soal Cerita Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1. Seseorang membeli 4 buku tulis dan 3 pensil, ia membayar Rp19.500,00. Jika ia membeli 2 buku tulis dan 4 pensil, ia harus membayar Rp16.000,00. Tentukan harga sebuah buku tulis dan sebuah pensil

Jawab:

■ Misalkan harga buku tulis x dan harga pensil y.

■ Dari soal di atas, dapat dibentuk model matematika sebagai berikut:

Harga 4 buku tulis dan 3 pensil Rp19.500,00 sehingga 4x + 3y = 19.500. Harga 2 buku tulis dan 4 pensil Rp16.000,00 sehingga 2x + 4y = 16.000. Dari sini diperoleh sistem persamaan linear dua variabel berikut.

4x + 3y = 19.500

2x + 4y = 16.000

■ Dengan menggunakan metode eliminasi, maka penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah sebagai berikut.

Untuk mengeliminasi variabel x, maka kalikan persamaan pertama dengan 1 dan persamaan kedua dengan 2 agar koefisien x kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai y sebagai berikut.

4x + 3y	=	19.500	|× 1|	→	4x + 3y	=	19.500
2x + 4y	=	16.000	|× 2|	→	4x + 8y	=	32.000	−
					−5y	=	−12.500
					y	=	2.500

Untuk mengeliminasi variabel y, maka kalikan persamaan pertama dengan 4 dan kalikan persamaan kedua dengan 3 lalu selisihkan kedua persamaan sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

4x + 3y	=	19.500	|× 4|	→	16x + 12y	=	78.000
2x + 4y	=	16.000	|× 3|	→	6x + 12y	=	48.000	−
					10x	=	30.000
					x	=	3.000

Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah x = 3.000 dan y = 2.500. Dengan demikian, harga sebuah buku tulis adalah Rp3.000,00 dan harga sebuah pensil adalah Rp2.500,00.

2. Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 44 cm. Jika lebarnya 6 cm lebih pendek dari panjangnya, carilah panjang dan lebar dari persegi panjang tersebut.

Jawab:

■ Misalkan panjang dari persegi panjang itu sama dengan x cm dan lebarnya y cm. Model matematika yang sesuai dengan persolan di atas adalah sebagai berikut.

2(panjang + lebar) = keliling persegi panjang

⇒ 2x + 2y = 44

⇒ x + y = 22

Lebar 6 cm lebih pendek dari panjang, maka:

⇒ y = x – 6

■ Dengan demikian, kita peroleh model matematika berbentuk SPLDV berikut.

x + y = 22

y = x – 6

■ Dengan menggunakan metode subtitusi, maka penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah sebagai berikut.

Pertama, untuk menentukan nilai x, subtitusikan persamaan y = x – 6 ke persamaan x + y = 22 sehingga diperoleh:

⇒ x + y = 22

⇒ x + (x – 6) = 22

⇒ 2x – 6 = 22

⇒ 2x = 22 + 6

⇒ 2x = 28

⇒ x = 14

Kedua, untuk menentukan nilai y, subtitusikan nilai x = 14 ke persamaan y = x – 6 sehingga diperoleh:

⇒ y = x – 6

⇒ y = 14 – 6

⇒ y = 8

Jadi, panjang persegi panjang itu adalah 14 cm dan lebarnya adalah 8 cm.

3. Lisa dan Muri bekerja pada pabrik tas. Lisa dapat meyelesaikan 3 buah tas setiap jam dan Muri dapat menyelesaikan 4 tas setiap jam. Jumlah jam kerja Lisa dan Muri adalah 16 jam sehari dengan jumlah tas yang dibuat oleh keduanya adalah 55 tas. Jika jam kerja keduanya berbeda, tentukan jam kerja mereka masing-masing.

Jawab:

■ Misalkan jam kerja Lisa adalah x jam dan Muri adalah y jam maka model matematika yang sesuai dengan persoalan di atas adalah sebagai berikut.

Setiap 1 jam Lisa membuat 3 tas dan Muri 4 tas, dalam sehari mereka membuat 55 tas, maka:

3x + 4y = 55

Jumlah jam kerja Lisa dan Muri adalah 16 jam, maka:

x + y = 16

■ Dengan demikian, kita peroleh model matematika berbentuk SPLDV berikut.

3x + 4y = 55

x + y = 16

■ Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi dan subtitusi), maka penyelesaian dari SPLDV di atas adalah sebagai berikut.

Metode Eliminasi

3x + 4y	=	55	|× 1|	→	3x + 4y	=	55
x + y	=	16	|× 3|	→	3x + 3y	=	48	−
					y	=	7

Metode Subtitusi

Subtitusikan nilai y = 7 ke persamaan x + y = 16 sehingga diperoleh:

⇒ x + y = 16

⇒ x + 7 = 16

⇒ x = 16 – 7

⇒ x = 9

Jadi, Lisa bekerja 9 jam dan Muri bekerja 7 jam dalam sehari.

4. Umur Lia 7 tahun lebih tua daripada umur Irvan, sedangkan jumlah umur mereka adalah 43 tahun. Berapakah umur mereka masing-masing?

Jawab:

■ Misalkan umur lia adalah x tahun dan umur Irvan adalah y tahun. Maka model matematika yang sesuai dengan persoalan ini adalah sebagai berikut.

Umur Lia 7 tahun lebih tua dari Irvan, maka:

x = y + 7

jumlah umur Lia dan Irvan adalah 43 tahun, maka:

x + y = 43

■ Dengan demikian, kita peroleh model matematika berbentuk SPLDV berikut.

x = y + 7

x + y = 43

■ Dengan menggunakan metode subtitusi, maka penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah sebagai berikut.

Pertama, untuk menentukan nilai y, subtitusikan persamaan x = y + 7 ke persamaan x + y = 43 sehingga diperoleh:

⇒ x + y = 43

⇒ (y + 7) + y = 43

⇒ 2y + 7 = 43

⇒ 2y = 43 – 7

⇒ 2y = 36

⇒ y = 18

Kedua, untuk menentukan nilai x, subtitusikan nilai y = 18 ke persamaan x = y + 7 sehingga diperoleh:

⇒ x = y + 7

⇒ x = 18 + 7

⇒ x = 25

Dengan demikia, umur Lia adalah 25 tahun dan umur Irvan adalah 18 tahun.

5. Selisih umur seorang ayah dan anak perempuannya adalah 26 tahun, sedangkan lima tahun yang lalu jumlah umur keduanya adalah 34 tahun. Hitunglah umur ayah dan anak perempuannya dua tahun yangakan datang.

Jawab:

■ Misalkan umur ayah adalah x tahun dan umur anak perempuannya adalah y tahun. Maka model matematika yang sesuai adalah sebagai berikut.

Selisih umur ayah dan anak adalah 26 tahun, maka:

x – y = 26

Lima tahun lalu, jumlah umur ayah dan anak adalah 34 tahun, maka:

(x – 5) + (y – 5) = 34

⇒ x + y – 10 = 34

⇒ x + y = 34 + 10

⇒ x + y = 44

■ Dengan demikian, kita peroleh model matematika berbentuk SPLDV berikut.

x – y = 26

⇒ x + y = 44

■ Dengan menggunakan metode subtitusi, maka penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah sebagai berikut.

Menentukan nilai x

x – y = 26 → y = x – 26

⇒ x + y = 44

⇒ x + (x – 26) = 44

⇒ 2x – 26 = 44

⇒ 2x = 44 + 26

⇒ 2x = 70

⇒ x = 35

Menentukan nilai y

⇒ x + y = 44

⇒ 35 + y = 44

⇒ y = 44 – 35

⇒ y = 9

Dengan demikian, umur ayah sekarang adalah 35 tahun dan umur anak perempuan sekarang adalah 9 tahun.  Jadi, umur ayah dan umur anak dua tahun yang akan datang adalah 37 tahun dan 11 tahun.

#1 Metode Eliminasi (SPLTV)

Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah y sehingga kita akan mengeliminasi y dulu. Untuk menghilangkan peubah z, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing y dari ketiga persamaan. Perhatikan cara berikut.

4x – 2y – z = 4 → koefisien y = –2

2x – 6y + 3z = −6 → koefisien y = –6

−6x + 3y – 4z = 16 → koefisien y = 3

Agar ketiga koefisien y sama (abaikan tanda), maka kita kalikan persamaan pertama dengan 3, persamaan kedua dengan 1, dan persamaan ketiga dengan 2. Sehingga hasilnya adalah sebagai berikut. 

4x – 2y – z	=	4	|× 3|	→	12x – 6y – 3z	=	12
2x – 6y + 3z	=	−6	|× 1|	→	2x – 6y + 3z	=	−6
−6x + 3y – 4z	=	16	|× 2|	→	−12x + 6y – 8z	=	32

Setelah koefisien y ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel y hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.

● Dari persamaan pertama dan kedua:

12x – 6y – 3z	=	12
2x – 6y + 3z	=	−6	−
10x − 6z	=	18

● Dari persamaan kedua dan ketiga:

2x – 6y + 3z	=	−6
−12x + 6y – 8z	=	32	+
−10x − 5z	=	26

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.

10x – 6z = 18

−10x − 5z = 26

#2 Metode Subtitusi (SPLDV)

Dari SPLDV pertama, kita peroleh persamaan x sebagai berikut.

⇒ 10x – 6z = 18

⇒ 10x = 18 + 6z

Lalu kita subtitusikan persamaan y tersebut ke SPLDV kedua sebagai berikut.

⇒ −10x − 5z = 26

⇒ −(18 + 6z) − 5z = 26

⇒ −18 − 6z − 5z = 26

⇒ − 6z − 5z = 26 + 18

⇒ −11z = 44

⇒ z = −4

Kemudian, untuk menentukan nilai x, kita subtitusikan nilai z = −4 ke dalam salah satu SPLDV, misalnya persamaan 10x – 6z = 18 sehingga kita peroleh:

⇒ 10x – 6z = 18

⇒ 10x – 6(−4) = 18

⇒ 10x + 24 = 18

⇒ 10x = 18 – 24

⇒ 10x = –6

⇒ x = –6/10

⇒ x = –3/5

Langkah terakhir yaitu menentukan nilai y. Untuk menentukan nilai y, kita subtitusikan nilai x = –3/5 dan z = x = –4 ke dalam salah satu SPLTV di atas, misalnya persamaan 4x – 2y – z = 4 sehingga kita peroleh:

⇒ 4x – 2y – z = 4

⇒ 4(–3/5) – 2y – (–4) = 4

⇒ –12/5 – 2y + 4 = 4

⇒ –2y = 4 – 4 + 12/5

⇒ –2y = 12/5

⇒ y = –12/10

⇒ y = –6/5

⇒ y = –11/5

Dengan demikian kita peroleh nilai x = –3/5, y = –11/5 dan z = –4  sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(–3/, –11/5, –4)}.   

No 1. 

Sebuah bilangan terdiri dari 3 angka yang jumlahnya 9.  Angka ratusan adalah 1/8 dari bilangan yang dibentuk oleh kedua angka yang dibelakang. Angka satuan adalah 1/8 dari bilangan yang dibentuk oleh kedua angka yang di depan.  Carilah bilangan tersebut !

Pembahasan :

Misalkan angka-angka bilangan tersebut adalah x, y, dan z
x merupakan ratusan
y merupakan puluhan
z merupakan satuan

maka bilangan yang diminta adalah 100x + 10y + z

x + y + z = 9 ... pers I
x = 1/8 (10y + z)  ⇔  8x - 10y - z = 0  ... pers II
z = 1/8 (10x + y)  ⇔  10x + y - 8z = 0  ... pers III

eliminasi z dari persamaan I dan II

  x +   y + z = 9
8x - 10y - z = 0
--------------------  +
9x - 9y        = 9    (dibagi 9)
           x - y = 1     ... pers IV

eliminasi z dari persamaan I dan III

   x + y + z = 9    |×8|
10x + y - 8z = 0  |×1|

8x + 8y + 8z = 72
10x + y  - 8z =   0
------------------------ +
18x + 9y      = 72       (dibagi 9)
         2x + y = 8      .... pers V

eliminasi y dari persamaan IV dan V

  x  - y = 1
2x + y = 8
------------- +
3x       = 9
        x = 9/3
        x = 3

subtitusikan x = 3 ke dalam persamaan IV

x - y = 1
3 - y = 1
   - y = 1 - 3
     y = -2/-1
     y = 2

subtitusikan x = 3 dan y = 2 ke dalam persamaan I

x + y + z = 9
3 + 2 + z = 9
            z = 9 - 5
            z = 4

Jadi bilangan yang diminta adalah 324

No 2. 

Raisa dan Sekar secara bersamaan membutuhkan waktu 12 menit untuk mencetak foto. Sekar dan Aira membutuhkan 15 menit untuk menyelesaikan pekerjaan yg sama . Sedangkan Raisa dan Aira membutuhkan waktu 20 menit untuk mencetak foto. Berapa waktu yg di perlukan oleh Raisa, Sekar, Aira untuk mencetak foto yang sama secara bersama-sama adalah ... menit.
A.  5
B.  8
C.  10
D.  11
E.  13

Pembahasan :

Bagian pekerjaan yang bisa diselesaikan dalam 1 menit secara sendiri-sendiri

Raisa = 1/x bagian
Sekar = 1/y bagian
Aira = 1/z bagian

Kita buat persamaan dari penyataan diatas

1/x + 1/y = 1/12   ... pers I
1/y + 1/z = 1/15   ... pers II
1/x + 1/z = 1/20   ... pers III

Jumlahkan persamaan I, II, dan III

 1/x + 1/y          = 1/12
          1/y + 1/z = 1/15
 1/x          + 1/z = 1/20
------------------------------ +
2(1/x) + 2(1/y) + 2(1/z) = 1/12 + 1/15 + 1/20
       2 (1/x + 1/y + 1/z)  = 5/60 + 4/60 + 3/60
       2 (1/x + 1/y + 1/z)  = 12 / 60
            1/x + 1/y + 1/z  = 12/60 × 1/2
             1/x + 1/y + 1/z = 6 / 60

bersama-sama mereka bertiga mengerjakan mencetak foto

1/n = 1/x + 1/y + 1/z
1/n = 6/60
   n = 60/6
   n = 10

Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan itu sama dengan 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan lainnya. Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan yang lain dikurang empat. Carilah bilangan-bilangan itu.

Penyelesaian:

Ketiga bilangan adalah a, b, dan c. Ketentuan soal adalah sebagai berikut:

■ Rata-rata ketiga bilangan sama dengan 16 berarti:

(a + b + c)/3 = 16

Apabila kedua ruas kita kalikan 3 maka:

a + b + c = 48

■ Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan lain berarti:

b + 20 = a + c

atau bisa kita tuliskan sebagai berikut.

a – b + c = 20

■ Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan lain dikurang 4 berarti:

c = a + b – 4

atau bisa kita tuliskan sebagai berikut.

a + b – c = 4

Sampai sini kita peroleh SPLTV sebagai berikut.

a + b + c = 48

a – b + c = 20

a + b – c = 4

Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode campuran yaitu sebagai berikut.

● Eliminasi variabel a pada persamaan 1 dan 2

a + b + c	=	48
a – b + c	=	20	−
2b	=	28
b	=	14

● Eliminasi variabel a pada persamaan 1 dan 3

a + b + c	=	48
a + b – c	=	4	−
2c	=	44
c	=	22

Subtitusikan nilai b = 14 dan nilai c = 22 ke persamaan a + b – c = 4 sehingga diperoleh nilai a yaitu sebagai berikut.

⇒ a + b – c = 4

⇒ a + 14 – 22 = 4

⇒ a – 8 = 4

⇒ a = 4 + 8

⇒ a = 12

Jadi, ketiga bilangan tersebut berturut-turut adalah 12, 14, dan 22.

Soal Cerita 4:

Suatu bilangan terdiri atas tiga angka. Jumlah ketiga angka itu sama dengan 9. Nilai bilangan itu sama dengan 14 kali jumlah ketiga angkanya. Angka ketiga dikurangi angka kedua dan angka pertama sama dengan 3. Carilah bilangan itu.

Penyelesaian:

Misalkan bilangan yang dimaksud adalah abc, dengan a menempati tempat ratusan, b menempati tempat puluhan dan c menempati tempat satuan. Ketentuan dalam soal adalah sebagai berikut.

■ Jumlah ketiga angka sama dengan 9 berarti:

a + b + c = 9

■ Nilai bilangan itu sama dengan 14 kali jumlah ketiga angkanya berarti:

100a + 10b + c = 14(a + b + c)

100a + 10b + c = 14a + 14b + 14c

100a – 14a + 10b – 14b + c – 14c = 0

86a – 4b – 13c = 0

■ Angka ketiga dikurangi angka kedua dan angka pertama sama dengan 3 berarti:

c – b – a = 3

atau bisa kita tulis sebagai berikut

a + b – c = −3

Dari sini kita peroleh SPLTV sebagai berikut.

a + b + c = 9

86a – 4b – 13c = 0

a + b – c = −3

Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode gabungan yaitu sebagai berikut.

● Eliminasi variabel b pada persamaan 1 dan 2

a + b + c	=	9	|× 4|	→	4a + 4b + 4c	=	36
86a – 4b – 13c	=	0	|× 1|	→	86a – 4b – 13c	=	0	+
					90a – 9c	=	36
					10a – c	=	4

● Eliminasi variabel b pada persamaan 1 dan 3

a + b + c	=	9
a + b – c	=	−3	−
2c	=	12
c	=	6

Subtitusikan nilai c = 6 ke persamaan 10a – c = 4 sehingga diperoleh nilai a sebagai berikut.

⇒ 10a – c = 4

⇒ 10a – 6 = 4

⇒ 10a = 4 + 6

⇒ 10a = 10

⇒ a = 1

Terakhir subtitusikan nilai a = 1 dan c = 6 ke persamaan a + b + c = 9 sehingga kita peroleh nilai b sebagai berikut.

⇒ a + b + c = 9

⇒ 1 + b + 6 = 9

⇒ b + 7 = 9

⇒ b = 9 – 7

⇒ b = 3

Karena nilai a = 1, b = 3 dan c = 6 maka bilangan tersebut adalah 126.

Soal Cerita 5:

Bentuk kuadrat px2 + qx + r mempunyai nilai 1 untuk x = 0, mempunyai nilai 6 untuk x = 1 dan mempunyai nilai 2 untuk x = −1. Carilah nilai p, q, dan r.

Penyelesaian:

Fungsi kuadrat dalam x dituliskan sebagai berikut.

f(x) = px2 + qx + r

■ Untuk nilai x = 0 maka f(x) = 1 maka:

f(0) = p(0)2 + q(0) + r

1 = r

■ Untuk nilai x = 1 maka f(x) = 6 maka:

f(1) = p(1)2 + q(1) + r

6 = p + q + r

Masukkan nilai r = 1 ke persamaan 6 = p + q = r sehingga diperoleh:

⇒ 6 = p + q + r

⇒ 6 = p + q + 1

⇒ p + q = 5

⇒ p = 5 – q

■ Untuk nilai x = −1 maka f(x) = 2 maka:

f(0) = p(−1)2 + q(−1) + r

2 = p – q + r

Subtitusikan persamaan nilai r = 1 dan persamaan p = 5 – q ke persamaan 2 = p – q + r sehingga diperoleh:

⇒ 2 = p – q + r

⇒ 2 = (5 – q) – q + 1

⇒ 2 = 6 – 2q

⇒ 2q = 6 – 2

⇒ 2q = 4

⇒ q = 2

Terakhir, subtitusikan nilai q = 2 dan nilai r = 1 ke persamaan 2 = p – q + r sehingga kita peroleh nilai p sebagai berikut.

⇒ 2 = p – q + r

⇒ 2 = p – 2 + 1

⇒ 2 = p – 1

⇒ p = 2 + 1

⇒ p = 3

Jadi, nilai p, q, dan r berturut-turut adalah 3, 2, dan 1.