Sistem Pertidaksamaan Kuadrat-linear dan Kuadrat-kuadrat

Nama : Hanna Kamila M. (16)

Kelas : X IPS 3

Tanggal : 15 September 2020

Menentukan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat

*). Grafik fungsi linear dan grafik fungsi kuadrat
       Syarat utama dalam menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat adalah mampu membuat grafiknya terlebih dahulu. Untuk grafik fungsi linear (garis lurus) silahkan baca materi "Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya" dan grafik fungsi kuadrat bisa kita baca pada artikel "Sketsa dan Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat" dan "Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat dengan Teknik Menggeser". 

*). Penyelesaian Sistem Pertidaksamaannya 
       Misalkan ada sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat : 
{ax+by≥cdx2+ex+fy≤g$\{\begin{array}{c}ax+by\ge c\\ d{x}^2+ex+fy\le g\end{array}$ 
Yang namanya penyelesaian adalah semua himpunan (x,y)$(x,y)$ yang memenuhi semua pertidaksamaan. Jika nilai x$x$ dan y$y$ yang diminta adalah bilangan real, maka akan ada tak hingga solusinya yang bisa diwakili oleh suatu daerah arsiran yang memenuhi sistem pertidaksamaannya. 

Langkah-langkah Menentukan daerah arsiran : 
i). Gambar dulu grafik masing-masing fungsi. 
ii). Tentukan daerah arsiran setiap pertidaksamaan yang sesuai dengan perminataan soal dengan cara uji sembarang titik. 
iii). Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan dengan cara mengiriskan setiap daerah arsiran setiap pertidaksamaan atau carilah daerah yang memuat arsiran terbanyak. 

Contoh soal : 
1). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x+3y≥12$2x+3y\ge 12$? 
Penyelesaian : 
*). Kita gambar dulu persamaan garis 2x+3y=12$2x+3y=12$ 
menentukan titik potong sumbu-sumbu : 
Sumbu X substitusi y=0→2x+3.0=12→2x=12→x=6$y=0\to 2x+3.0=12\to 2x=12\to x=6$. 
Sumbu Y substitusi x=0→2.0+3y=12→3y=12→y=4$x=0\to 2.0+3y=12\to 3y=12\to y=4$. 
Substitusi titik uji yaitu (0,0)$(0,0)$ : 
(x,y)=(0,0)→2x+3y2.0+3.00≥12≥12≥12(SALAH)$\begin{array}{rl}(x,y)=(0,0)\to 2x+3y& \ge 12\\ 2.0+3.0& \ge 12\\ 0& \ge 12\text{(SALAH)}\end{array}$ 
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) salah (bukan solusi yang diminta), sehingga solusinya adalah daerah lawannya yang tidak memuat titik (0,0) atau daerah di atas garis. 
*). Berikut himpunan penyelesaiannya : 

Keterangan gambar daerah himpunan penyelesaiannya : 
Daerah yang diarsir adalah daerah himpunan penyelesaian 2x+3y≥12$2x+3y\ge 12$, artinya semua himpunan titik (x,y)$(x,y)$ yang ada didaerah arsiran sebagai solusinya. Daerah yang diarsir sebenarnya semua daerah yang ada di atas garis 2x+3y=12$2x+3y=12$ , hanya saja yang diarsir sedikit untuk mewakili bahwa daerah himpunan panyelesaiannya adalah semua daerah di atas garisnya. 

Catatan : 
Teman-teman bisa mempelajari cara menentukan daerah arsiran lebih lengkap pada materi : "Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan". 

2). Tentukan Himpunan penyelesaian dari y≤−x2+5x+6$y\le -x^2+5x+6$ ? 
Penyelesaian : 
*). Kita gambar dulu grafik y=−x2+5x+6$y=-x^2+5x+6$ : 
menentukan titik potong sumbu-sumbu : 
Sumbu X substitusi y=0→0=−x2+5x+6→−(x+1)(x−6)=0→x=6∨x=−1$y=0\to 0=-x^2+5x+6\to -(x+1)(x-6)=0\to x=6\vee x=-1$. 
Sumbu Y substitusi x=0→y=−02+5.0+6→y=0$x=0\to y=-0^2+5.0+6\to y=0$. 
Nilai a=−1$a=-1$ dari fungsi kuadrat y=−x2+5x+6$y=-x^2+5x+6$ maka grafik hadap ke bawah. 
Substitusi titik uji yaitu (0,0)$(0,0)$ : 
(x,y)=(0,0)→y00≤−x2+5x+6≤−02+5.0+6≤6(BENAR)$\begin{array}{rl}(x,y)=(0,0)\to y& \le -x^2+5x+6\\ 0& \le -0^2+5.0+6\\ 0& \le 6\text{(BENAR)}\end{array}$ 
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) benar (solusi yang diminta), sehingga solusinya adalah daerah di dalam kurva parabola 
*). Berikut himpunan penyelesaiannya : 

3). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 
               {2x+3y≥12y≤−x2+5x+6$\{\begin{array}{c}2x+3y\ge 12\\ y\le -x^2+5x+6\end{array}$ 
Penyelesaian : 
*). Karena ada dua pertidaksamaannya, maka kita harus menentukan daerah arsiran yang memenuhi keduanya yang nantinya akan menjadi himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan pada soal nomor 3 ini. 
*). Berdasarkan jawaban soal nomor 1 dan nomor 2 di atas, maka daerah arisan yang diminta yang memenuhi keduanya yaitu : 

4). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 
               {2x+3y≥12y≥−x2+5x+6$\{\begin{array}{c}2x+3y\ge 12\\ y\ge -x^2+5x+6\end{array}$ 
Penyelesaian : 

Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari kedua pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan. 

5). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 
               {2x+3y≤12y≥−x2+5x+6$\{\begin{array}{c}2x+3y\le 12\\ y\ge -x^2+5x+6\end{array}$ 
Penyelesaian : 

Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari kedua pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan. 

6). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 
               {2x+3y≤12y≤−x2+5x+6$\{\begin{array}{c}2x+3y\le 12\\ y\le -x^2+5x+6\end{array}$ 
Penyelesaian : 

Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari kedua pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan. 

Dari contoh soal nomor 3 sampai 6 sengaja kita ubah tanda ketaksamaannya saja agar teman-teman mahir dalam mengerjakan soal-soal yang ada dengan berbagai tipe tanda ketaksamaan.

7). Tentukan sistem pertidaksamaan yang ditunjukan oleh daerah himpunan penyelesaian yang ditunjukkan seperti gambar berikut ini. 

Penyelesaian : 
*). Kita substitusi sembarang titik dari masing-masing kurva : 
Kurva 2x−3y=12$2x-3y=12$ , kita substitusi (0,−6)$(0,-6)$yang berada pada daerah penyelesaian, 
(x,y)=(0,−6)→2x−3y2.0−3.(−6)0+1818=12=12=12≥12$\begin{array}{rl}(x,y)=(0,-6)\to 2x-3y& =12\\ 2.0-3.(-6)& =12\\ 0+18& =12\\ 18& \ge 12\end{array}$ 
Artinya pertidaksamaannya adalah 2x−3y≥12$2x-3y\ge 12$ 
Kurva y=x2−2x−8$y=x^2-2x-8$ , kita substitusi (0,0)$(0,0)$yang berada pada daerah penyelesaian, 
(x,y)=(0,0)→y000=x2−2x−8=02−2.0−8=−8≥−8$\begin{array}{rl}(x,y)=(0,0)\to y& =x^2-2x-8\\ 0& =0^2-2.0-8\\ 0& =-8\\ 0& \ge -8\end{array}$ 
Artinya pertidaksamaannya adalah y≥x2−2x−8$y\ge x^2-2x-8$ 
Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah 
               {2x−3y≥12y≥x2−2x−8$\{\begin{array}{c}2x-3y\ge 12\\ y\ge x^2-2x-8\end{array}$